费马大定理从提出到证明花了三百多年

前面说过费马,费马在数学方面天赋绝伦,微积分和导数他都用巧妙的方法给出了和牛顿一样的形式,微积分的冠名权没有落在他头上是因为他没有给出微分和积分之间的联系,也没有像牛顿那样给出导数的本质,即瞬时变化率。

费马家境优越,他学的法律,效力于图卢兹地方最高法院,先是律师,后来是议员,所以费马是正儿八经的公务员,还是级别比较高的那种,这意味着他工作很忙,所以数学只能是副业,他只是个业余爱好者,不过是其中的王者,他在数学界的地位可以和笛卡尔比肩。

费马一生中提出过很多定理,中国读者对费马熟悉也是因为经常听到费马定理,在费马提出的所有定理中,最著名的就是费马大定理,在国外又被称为费马最后定理(Fermats Last Theorem),能被称为费马最后定理就知道他的分量了,喜欢打游戏的朋友都知道,大BOSS都是在最后一关出现,而且实力极强,很不好过关。是的,费马大定理也是这样,它是费马一系列定理中最后被证明的一个,叫最后定理是因为前面的都被证实或者证伪了。

费马大定理由费马在1637年提出,最终由英国人安德鲁·怀尔斯在1995年证明,结果发表在《数学年刊》上,过程曲折,曲折之中还有曲折。怀尔斯在做完所有准备后,想用10年时间证明费马大定理,结果7年就证明了,没想到的是却被6位审稿人中的一位发现了其中的重大漏洞,梦想破灭,但怀尔斯没有轻易认输,仔细思索之后从漏洞出发,回到原来的方法(谷山–志村猜想),最终证明了费马大定理。

下面我们来看下什么是费马大定理以及它漫长的证明过程。费马大定理很简单,普通人就能看懂,即不存在这样的正整数使得x^n+y^n=z^n成立。费马在一本巴谢版丢番图《算术》的页边空白处写道:对于这个注明定理,他已经有了真正奇妙的证明,但因为空白出太小了,写不下。费马没有说谎,怀尔斯的证明有200多页,确实写不下。谷歌在费马诞辰时将费马大定理在首页置顶,并写到:对费马大定理已经有了真正奇妙的证明,但因为页面空白出太小了,写不下。

费马大定理看起来很简单,定理的内容普通人都能看懂,这引发了无数数学业余爱好者参与,纷纷有人说自己给出了正确的证明。中国的业余爱好者尤其多,于是陈景润不得不出来说明:在最近几十年,看不懂用初等数学方法证明费马大定理的可能性,他说这番线年,最后费马大定理的证明当然不是用初等数学的方法证明的。

最先对费马大定理提出挑战的是欧拉,在1770年欧拉给出了n=3的证明,这时,离费马提出大定理已经过去了133年,之后,围绕费马大定理,全世界优秀的数学家开始了惨烈的竞争和接力。19世纪出法国女数学家热尔曼对n和2n+1都是素数时给出费马大定理的证明,1825年德国数学家狄利克雷(学过高数的对狄利克雷这个名字应该很熟悉)和法国数学家勒让德分别独立证明了n=5时费马大定理成立。

1847年拉梅和柯西(微积分极限理论的奠基人之一,柯西中值定理的那个柯西)都宣布自己证明了费马大定理,但德国数学家库默尔证明了两位数学家是错误的,我不能证明费马定理是正确的,但可以证明你们是错误的。库默尔不知道是谁,没关系,知道高斯就行,库默尔是他的学生。数学家们都以自己的方式参战,自己不去,自己的学生去。

1908年,德国人沃尔夫斯凯尔为了激励大家证明费马大定理给出了10万马克的奖励,谁能证明费马大定理,谁就可以得到它。那么,沃尔夫为什么这么做呢?背后的故事很具戏剧性,简单点说就是沃尔夫失恋了,于是他要自杀,并安排好了所有的事情和自杀的时间,在等待自杀的时间里他去了图书馆,随手翻到一本数学期刊,被其中一篇论文吸引住了,作者库默尔在文中解释为何柯西和拉梅证明费马大定理的方法行不通。

当他看到库默尔的论文,认为莫库尔的论述中有一个漏洞,于是自己重新演算了一遍,经过烦琐的论证,终于补救了莫库尔的证明。可当他长舒一口气,发现自杀时间过了,那就算了。对于救命恩人费马大定理,他能做的就是重金给证明者。还是他是个富豪,10万马克还是没问题的。沃尔夫斯凯尔也是个神人,一晚上就能发现别人几十年没有发现的漏洞。

主角登场了,对于费马大定理这个恶龙,还得屠龙勇士怀尔斯出手。怀尔斯没有获得诺贝尔奖,因为数学没有诺贝尔奖,他也没有获得菲尔兹奖,因为他证明费马大定理时已经超过40岁了,怎么办?1998年,国际数学联盟授予怀尔斯国际数学联盟特别奖。

怀尔斯10岁时就知道了费马大定理,在上大学之前,已经研究了几年并觉得自己解决了这个问题,最终发现不对,这个时候的菲尔斯还没有掌握解决问题应该有的必要数学基础。数学家都是天才,如果不然你证明不了那些知道答案都看不懂的数学定理,怀尔斯当然是天才,五岁识千字,七岁熟读四书五经。不对,是1974年获得牛津大学数学学士学位,1977年证明了椭圆曲线中的最重要猜想—博奇-斯温耐顿-代而猜想的特殊情形,以此获得剑桥大学博士学位。三年时间获得博士学位,英国最好的两所大学牛津和剑桥全都读过,你说牛不牛。

1982年,获得普林斯顿大学终身教授,经济基础决定上层建筑,他在数学全不是萌新了,吃喝无忧了,是时候展现真正的技术了,不对,是时候向费马大定理冲锋了。

1986年,怀尔斯向费马大定理发起冲锋,先花了一年半学习必要的数学工具,他估计需要10年时间才能证明费马大定理。为了集中精力做好这件事情,他谁都没告诉。当时,要证明费马大定理就绕不开谷山–志村猜想,但因为太难了,其它数学家已经放弃。

怀尔斯和其它数学家一样,前五年一点进展没有!第六年,他有了突破,放弃了谷山–志村猜想,引用一个数学博士的结果,采用一种新思路,在第七年的时候,他完成了证明,并进行了三次演讲。他看上去成功了,光证明就有200页,然后送交数学家评审。然而,费马大定理这头恶龙没那么容易屠杀,它复活了,评审专家发现了怀尔斯证明的漏洞,而且非常严重,直接的后果就是怀尔斯的证明无效。是的,无效。

之后的那段时间是灰暗的,怀尔斯试图弥补那个漏洞,但漏洞太严重了,几乎不可能被弥补,他已经准备承认失败,但两极反转了,他发现那个漏洞可以引导自己证明谷山–志村猜想,从而知名费马大定理。WHAT?这也行,是的,可以,所以最终怀尔斯还是没有离开谷山–志村猜想。

故事结束了,费马大定理被证明了。但我们还是可以有一点点思考,想想怀尔斯,他用10年时间来证明费马大定理,10年时间他没有任何论文,我们国家能不能给年轻人、给科学家这种环境呢?

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